其他
《函数的单调性凹凸性》课件节选及摘要总结
点“考研实验数学” 关注可每天“涨姿势”哦
函数单调性的判定:
设函数在[a,b]上连续,在内可导,则
(1) (a,b)内f’(x)>0,则函数在[a,b]上严格单调增加.
(2) 在(a,b)内f’(x)<0,那么函数f(x)在[a,b]上严格单调减少.
极值第一充分条件:
设在处连续,在x0的某去心邻域内可导,则
(1) 如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值.
(2) 如f’(x)左负右正,,那么在x0处取极小值.
(3) 如果f’(x)不变号,那么f(x)在x0处不取极值.
极值的第二充分条件:
设函数f(x)在处具有n阶导数,且
那么
(1) n为偶数时,为极值点,且n阶导数大于0,取极小值;n阶导数小于0,取极大值.
(2) n为奇数时,x0不是极值点.
函数图形凹凸性的判定:
设在内存在二阶导数,
(1) (a,b)内f’’(x)>0,则f(x)描述的曲线为凹弧;
(2) 如果在(a,b)内f’’(x)<0,则f(x)描述的曲线为凸弧.
分析作图法的基本步骤:
第一步:函数f(x)的一般性质分析:确定函数f(x)的定义域、值域、奇偶性、周期性、与坐标轴的交点;
第二步:求一阶导数和二阶导数,确定使=0的点及f’(x)不存在的点;使=0的点及f’’(x)不存在的点,即找出函数f(x)的可能极值点和拐点;
第三步:列表分析,分别根据f’(x)及f’’(x)的符号确定f(x)的单调区间和凹凸区间、极值点和拐点;
第四步:用渐近线界定曲线的变化趋势.求水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线;
第五步:描点作图,并标出关键点的坐标,画出渐近线,用光滑曲线连接各关键点.
【注】极值点为变量取值x=x0,拐点为图形上的点(x0,f(x0)).
输入文字输入文字